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Priorización 2023-2025: Aprendizajes Basales
MA2M OA 02
Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos:
- Comparando representaciones de potencias de exponente racional con raíces enésimas en la recta numérica.
- Convirtiendo raíces enésimas a potencias de exponente racional y viceversa.
- Describiendo la relación entre potencias y logaritmos.
- Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que involucren potencias, logaritmos y raíces enésimas.
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2023
Actividades de apoyo pedagógico
Material didáctico
Evaluaciones del programa

Evaluación Programas - MA2M OA02 - U1 - POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS
Unidad 0
Unidad 0
Unidad 0
Indicadores
Indicadores unidad 1
- -Relacionan y caracterizan las raíces por medio de potencias de exponente racional.
- -Derivan y determinan propiedades relativas a multiplicaciones y divisiones con raíces.
- -Resuelven problemas que involucren raíces y números racionales.
- -Establecen relaciones entre potencias, raíces y logaritmos.
- -Comparan representaciones de potencias con exponente racional, con raíces enésimas, y las representan en la recta numérica.
- -Explican la relación entre potencias y logaritmos.
- -Convierten desde un tipo de registro a otro; es decir, desde potencias a raíces y viceversa, y desde potencias a logaritmos y viceversa.
- -Resuelven problemas rutinarios y no rutinarios que involucran logaritmos.
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Preguntas
Raíces
Enunciado
¿Cómo puede ser simplificada y expresada en forma de potencia la expresión $(\sqrt[12]{49})^{3}$?
Alternativas
A) 7$^{\frac{1}{4}}$
B) 49$^{\frac{1}{3}}$
C) 7$^{\frac{1}{3}}$
D) 7$^{\frac{1}{2}}$
Respuesta
D
Expresamos $(\sqrt[12]{49})^{3}$ en forma simplificada:
$(\sqrt[12]{49})^{3}$
$\displaystyle\Leftrightarrow$ 49$^{\frac{3}{12}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow$49$^{\frac{1}{4}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow$ (7$^2$)$^{\frac{1}{4}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow$ 7$^{\frac{2}{4}}$
$\displaystyle\Leftrightarrow$ 7$^{\frac{1}{2}}$
Propiedades a partir de raíces
Enunciado
Al simplificar la siguiente expresión:
2$\sqrt{4\sqrt{16}}$
¿Qué valor resulta?
Alternativas
A) 4$\sqrt{2}$
B) 6
C) 4
D) $8$
Respuesta
D
Comenzamos a desarrollar la expresión 2$\sqrt{4\sqrt{16}}$:
2$\sqrt{4\cdot (4)}$ = 2$\sqrt{16}$ = 2 $\cdot$ 4 = 8
Conversión de operatorias
Enunciado
Dada la siguiente expresión: $\sqrt[3]{27^2}$ ¿cómo puede ser expresada con logarítmos?
Alternativas
A) $\log_{27}9=\dfrac{3}{2}$
B) $\log_{9}27=\dfrac{2}{3}$
C) $\log_{3}9=\dfrac{2}{3}$
Respuesta
B
Recordamos la relación entre los logaritmos y las expresiones exponenciales:
$a^x=P \rightarrow \log_{a}P=x$
Expresamos $\sqrt[3]{27^2}$ con logaritmos:
$\sqrt[3]{27^2}=(27)^{\dfrac{2}{3}}=(3^3)^{\dfrac{2}{3}}=3^2=9$
Así la expresión con logaritmos es:
$\log_{27}9=\dfrac{2}{3}$
Resolución de logaritmos
Enunciado
A partir de la tabla que se muestra a continuación ¿qué regularidad existe entre el producto de los números los logaritmos y los logaritmos del producto?
Número $1$ | Número $2$ | Producto | Logaritmo de N°$1$ | Logaritmo de N°$2$ | Logaritmo del producto |
$100 000$ | $1 000$ | $100 000 000$ | $5$ | $3$ | $8$ |
Alternativas
A) El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de ambos factores.
B) Los números en escalas logarítmicas son mayores.
C) No existe regularidad en la tabla presentada.
Respuesta
A)
Se puede observar en la tabla mostrada que una propiedad de los logaritmos es la siguiente: "el logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de ambos factores".
Entonces tenemos:
$\log(100 000 000)=8$
$\log(100 000)+\log(1 000)=5+3=8$
Resolución de logaritmos
Enunciado
A partir de la tabla que se muestra a continuación ¿qué regularidad existe entre el cociente de los números sus logaritmos y los logaritmos del cociente?
Número 1 | Número 2 | Cociente | Logaritmo 1 | Logaritmo 2 | Logaritmo del cociente |
$100 000$ | $1 000$ | $100$ | $5$ | $3$ | $2$ |
Alternativas
A) No existe regularidad en la tabla presentada.
B) Se pueden calcular los logaritmos de cualquier número.
C) El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta del logaritmo del divisor menos el logaritmo del dividendo.
D) El logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta de los logaritmos del cociente.
Respuesta
C)
Se puede observar en la tabla mostrada que una propiedad de los logaritmos es la siguiente: "el logaritmo del cociente de dos números es igual a la resta del logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor."
Entonces tenemos que:
$\log(100)=2$
$\log(100 000)-\log(1 000)=5-3=2$
Raíces
Enunciado
Para determinar los valores de $n$ y $q$ en la ecuación $\sqrt[{n}]{8^{q} } =2$ es necesario saber que:
(1) $n$ es el triple de $q$.
(2) $q + n = 4$.
Alternativas
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
Respuesta
B)
(1)
Si $n = 3q \Rightarrow \sqrt[{3q}]{8^{q} } = 8^{\frac{q}{3q}} = \sqrt[3]{8} = 2$ lo cual no sirve.
(2)
Si $q + n = 4$$\rightarrow$ $n = 4 - q$ entonces $\sqrt[{4 - q}]{2^{3q} } =2$ expresando en potencias:
$2^{\left(\displaystyle\frac{3q}{4-q}\right) } =2^{1}$ iguales bases iguales exponentes $\displaystyle\frac{3q}{4-q} =1$ $\rightarrow$ $3q=4-q$ donde $q=1$.
Con esta opción se puede determinar los valores de $n$ y $q$. Por lo tanto (2) por sí sola.
Conversión de operatorias
Enunciado
Si $log_a{b}=6$ y $log_a{10}=1$ ¿cuál es el valor numérico de $\dfrac{a^3}{b}$?
Alternativas
A) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10 000}}$
B) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}$
C) $\displaystyle\frac{1}{1 000}$
D) $\displaystyle\frac{10}{\sqrt{1 000}}$
Respuesta
C
Ocupando la definión de logaritmo transformamos las expresiones logaritmicas a su equivalente en potencia es decir:
$log_a{b}=6 \Leftrightarrow a^6=b$
Así mismo:
$log_a{10}=1 \Leftrightarrow a^1=10 \Leftrightarrow a=10$
Ahora con el primer resultado reemplazamos en la expresión inicial:
$\dfrac{a^3}{b} = \dfrac{a^3}{a^6} = \dfrac{1}{a^3}$
Luego utilizamos $a=10$ para encontrar el valor numérico:
$\dfrac{1}{a^{3}} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1 000}$
Resolución de logaritmos
Enunciado
El nivel de intensidad sonora medida en decibeles (dB) está dado por la siguiente expresión:
$\beta=10 \cdot \log\left(\displaystyle\frac{\mbox{I}}{\mbox{I}_0}\right)$
Donde $\mbox{I}$ es la intensidad sonora y $\mbox{I}_0$ es el umbral de sensibilidad. ¿Cuál es la expresión que permite hallar el valor de $\mbox{I}$ para $\beta=10$ dB?
Alternativas
A) $\log(\mbox{I})=\log(\mbox{I}_0)$
B) $\log(\mbox{I})=1+\log(\mbox{I}_0)$
C) $\log(\mbox{I})=20+\log(\mbox{I}_0)$
Respuesta
C
Cuando $\beta=10$ en la expresión $\beta=10 \cdot \log\left(\displaystyle\frac{\mbox{I}}{\mbox{I}_0}\right)$ se tiene:
$10=10 \cdot \log\left(\displaystyle\frac{\mbox{I}}{\mbox{I}_0}\right)$
$\displaystyle\frac{10}{10}= \log\left(\displaystyle\frac{\mbox{I}}{\mbox{I}_0}\right)$
$1=\log\left(\displaystyle\frac{\mbox{I}}{\mbox{I}_0}\right)$
$1= \log(\mbox{I})- \log(\mbox{I}_0)$
$1+\log(\mbox{I}_0)=\log(\mbox{I})$
Raíces
Enunciado
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\sqrt[3]{0 125^{1-x}}$?
Alternativas
A) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-x}$
B) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{1-x}$
C) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-\frac{x}{2}}$
D) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$
Respuesta
B
Para encontrar la expresión equivalente recuerda que:
$\sqrt[n]{p^m}=p^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{p}\right)^{m}$
Por lo tanto:
$\sqrt[3]{0 125^{1-x}}=\sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{1}{8}\right)^{1-x}}=\left(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\right)^{1-x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}$
Expresando en un logaritmo
Enunciado
Al reducir la expresión

Alternativas
A) $\frac{\log_a{m}^{3}\;{c}^{5}}{\log_a^{m}}$
B) $\log_{3a}\left({c}^5{m}^2\right)$
C) $\log_a\left({c}^5{m}^2\right)$
D) $\log_a\left({mc}\right)^3$
Respuesta
C)
Raíces como logaritmos
Enunciado
La expresión $\sqrt[3] {64}\;{=}\;{4}$, se puede representar en logaritmo como:
Alternativas
A) $\log_{64}{4}\;{=}\;\frac{1}{3}$
B) $\log_\frac{1}{3}{64}\;{=}\;{4}$
C) $\log_{4}{8}\;{=}\;\frac{1}{3}$
D) $\log_{4}\left(\frac{1}{3}\right)\;{=}\;{64}$
Respuesta
A)
Raíces como potencias
Enunciado
La raíz $\sqrt[n]{a}\;{=}\;{b}$ al expresarla como potencia es:
Alternativas
A) $\left(a\right)^\frac{1}{n}\;{=}\;{b}$
B) $\left(b\right)^\frac{1}{n}\;{=}\;{a}$
C) ${n}^{b}\;{=}\;{a}$
D) ${b}^{n}\;{=}\;{a}$
Respuesta
D
Resolviendo logaritmos
Enunciado
¿Cuál de los siguientes logaritmos equivale a $\frac{4}{3}$?
Alternativas
A) $\log_\frac{4}{3}{8}$
B) $\log_{16}{2}$
C) $\log_4\left(2\right)^3$
D) $\log_2\left(16\right)^\frac{1}{3}$
Respuesta
D