Grupo: Título del recurso
MA2M OA 07
Desarrollar las fórmulas del área de la superficie y del volumen de la esfera:
- Conjeturando la fórmula.
- Representando de manera concreta y simbólica, de manera manual y/o con software educativo.
- Resolviendo problemas de la vida diaria y de geometría.
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2022
Priorización

Ficha Pedagógica para la priorización curricular: Matemática 2º medio - OA07
Lecciones: clases completas
Evaluaciones del programa

Evaluación Programas - MA2M OA07 - U1 - PROBLEMAS CON ESFERAS EN LA VIDA DIARIA
Actividades
Imágenes y multimedia
Unidad 1
Unidad 0
Indicadores
Indicadores unidad 1
- -Relacionan medidas de contenidos en envases en forma de cono, cilindro y esfera, que tienen el mismo radio y cuya altura también es igual al radio.
- -Derivan la fórmula del volumen de una esfera, a partir de los datos obtenidos en la comparación.
- -Reconocen que el volumen del cono es un cuarto del volumen de la esfera, si el radio y la altura son iguales en ambas figuras 3D.
- -Determinan la relación entre el volumen de la esfera y el volumen de un cono inscrito en ella.
- -Relacionan la esfera con objetos cotidianos (balón de fútbol, pelota de tenis, etc.).
- -Representan el volumen de la esfera como un conjunto infinito de conos (o pirámides) que están unidas en el centro.
- -Derivan el área de la esfera a partir de su volumen, el cual está igualado al volumen de infinitos conos (o pirámides) y de la adición de sus bases, que representaría una aproximación al área de la esfera.
- -Aplican las fórmulas de volumen y de superficie para resolver problemas geométricos, científicos y de la vida diaria.
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Preguntas
Volumen y superficie
Enunciado
Miguel desea comprar una pecera y en una tienda consigue una de forma semiesférica. Para conocer la capacidad de la pecera la llena de agua por completo y logra conocer que el volumen contenido en el recipiente es de $144 \pi$ cm$^3$. ¿Cuál es el radio de la pecera que Miguel consiguió?
Alternativas
A) $r=\mbox{5 cm}$
B) $r=\mbox{4 cm}$
C) $r=\mbox{7 cm}$
D) $r=\mbox{6 cm}$
Respuesta
D
El volumen de una esfera de radio $r$ está dado por:
$V_{esfera}=\dfrac{4}{3} \pi r^3$
Dado que la pecera es semiesférica su volumen será la mitad del de la esfera completa.
$V=144 \pi \text{ cm}^3$
$144 \pi \text{ cm}^3 = \dfrac{2}{3} \pi r^3$
$144 \text{ cm}^3 = \dfrac{2}{3} r^3$
$144 \cdot \dfrac{3}{2} \text{ cm}^3 =r^3$
$r^3=216 \text{ cm}^3$
$r=\sqrt[3]{\mbox{216 cm}^3}=6 \text{ cm}$
Contenido de envases en formas 3D
Enunciado
Una esfera se inscribe dentro de un cilindro como se aprecia en la figura:

Si el cilindro tiene volumen $100\pi$
¿cuál es el diámetro de la esfera?
Alternativas
A) $\sqrt[3]{50}$
B) $\sqrt[3]{100}$
C) $2\sqrt[3]{50}$
D) $2\sqrt[3]{100}$
Respuesta
C
Primero veamos que el volumen de un cilindro está dado por:
$V_{cilindro} = r^2\pi h$
Donde $h$ es la altura del cilíndro y $r$ es el radio de la esfera; luego como la esfera está inscrita en el cilíndro la altura $h$ es igual al diámetro de la esfera es decir:
$h = 2r$
Ahora con esta información reemplazamos en la fórmula e igualamos al volumen del cilíndro que ya sabemos que es $100\pi$:
$100\pi =\pi r^{2} (2r)$
$100 = 2r^{3}$
$50 = r^3$
$r=\sqrt[^3]{50}$
Por lo tanto el radio $r$ es $\sqrt[^3]{50}$ y finalmente el diametro de la esfera es $2\sqrt[^3]{50}$.
Volumen y superficie
Enunciado
El diámetro de una naranja es aproximadamente igual a $6$ cm. Si se corta por la mitad ¿cuál es el área de la superficie de cada media naranja?
Alternativas
A) $54 \pi$ cm$^3$
B) $60\pi$ cm$^3$
C) $27\pi$ cm$^3$
D) $240\pi$ cm$^3$
Respuesta
D
El área dela base es igual a:
$A_{base}= \pi r^2=\pi \cdot 3^2=9\pi$
El área de la semiesfera es igual a:
$A_{semiesfera} = \dfrac{4 \pi r^2}{2} = 2 \pi r^2 = 2 \cdot\pi \cdot 3^2 = 18 \pi$
El área de cada media naranja es igual a:
$9 \pi+ 18 \pi= 27 \pi$ cm$^3$
Relación de volúmenes
Enunciado
Una esfera puede inscribirse perfectamente en un cilindro de diámetro $6$ cm. ¿Cuál es el volumen de la esfera en centímetros cúbicos?
Alternativas
A) $9\pi$
B) $12\pi$
C) $24\pi$
D) $36\pi$
Respuesta
D
Si la esfera puede inscribirse perfectamente en el cilindro entonces el diámetro del cilindro es igual al diámetro de la esfera y por ende sus radios son iguales. La expresión para determinar el volumen $V$ de una esfera de radio $r$ es:
$V=\dfrac{4}{3} \pi r^3$ (1)
Reemplazamos en (1) los datos del enunciado:
$V=\dfrac{4}{3} \pi\cdot (3~\text{cm})^3 = 4\pi\cdot 9~\text{cm}^{3}= 36\pi~\text{cm}^{3}$
Volumen y superficie
Enunciado
Al cortar una esfera por la mitad se obtiene una circunferencia de diámetro $30$ cm. ¿Cuál es el volumen de la esfera?
Alternativas
A) $4 500\pi$ cm$^3$
B) $13 500\pi$ cm$^3$
C) $18 000\pi$ cm$^3$
D) $27 000\pi$ cm$^3$
Respuesta
A
Al cortar la esfera por la mitad necesariamente pasamos por el centro de ésta; por lo tanto la circunferencia obtenida tiene el mismo diámetro que la esfera. El volumen de una esfera corresponde a:
$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
Reemplazamos $r=15$ cm en (1) obtenemos que:
$V=\dfrac{4}{3}\pi(15~\text{cm})^3=4 500\pi~\text{cm}^3$
Relación de volúmenes
Enunciado
La esfera de radio $1$ cm es sumergida totalmente en un tanque cilíndrico de radio $4$ cm como se muestra en la figura.
Si el agua sube de nivel una altura $h$ cm ¿cuál es el valor de $h$?
Alternativas
A) $\displaystyle\frac{1}{4}$ cm
B) $\displaystyle\frac{1}{8}$ cm
C) $\displaystyle\frac{1}{16}$ cm
D) $\displaystyle\frac{1}{12}$ cm
Respuesta
D
Si sube una altura $h$ entonces el volumen aumenta en $16 \pi\cdot h$ que es igual al volumen de la esfera entonces:
$16\pi \cdot h = \dfrac{4}{3} \pi 1^{3} \to h= \dfrac{1}{12}$
Volumen y superficie
Enunciado
Se tiene una esfera inscrita dentro de un cilindro. Si el volumen de la esfera es $\dfrac{64}{3}\pi~\text{cm}^3$ ¿cuál es el volumen del cilindro?
Alternativas
A) $8\pi~\text{cm}^3$
B) $12\pi~\text{cm}^3$
C) $16\pi~\text{cm}^3$
D) $32\pi~\text{cm}^3$
Respuesta
D
Lo primero que debemos realizar es calcular el radio de la esfera inscrita en el cilindro para ello igualamos el volumen entregado con la fórmula de un volumen de una esfera es decir:
$\dfrac{64}{3}\pi=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
Despejando $r^3$ y eliminando términos semejantes a ambos lados de la ecuación tenemos:
$r^3=16$
$r=\sqrt[3]{16}$
Ahora debemos calcular el volumen del cilindro. Como la esfera está inscrita entonces su radio es el mismo que el del cilindro y a su vez la altura corresponde al diámetro de la esfera es decir el doble del radio. Luego el volumen del cilindro es:
$V_c=\pi r^2h =\pi r^2(2r) = 2\pi r^3$
$V_c=2\pi (\sqrt[3]{16})^3$
$V_c=2\pi (16)$
$V_c=32\pi$
Por lo tanto el volumen del cilindro es igual a $32\pi~\text{cm}^3$.
Volumen y superficie
Enunciado
Se tiene una caja de forma cúbica de arista $a$ en la cual se encuentran contenidas $n$ bolitas de radio $r$.

Asuma que las bolitas son extremadamente pequeñas en relación a las dimensiones de la caja ($a \gg r$) y por tanto se desprecia el espacio entre estas. En función al lado $a$ y cantidad $n$ de bolitas el radio que debe tener cada bolita para abarcar el volumen completo de la caja es:
Alternativas
A) $a\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi}}$
B) $a\sqrt[3]{\dfrac{4\pi n}{5}}$
C) $a\sqrt[3]{\dfrac{5}{4\pi n}}$
D) $a\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi n}}$
Respuesta
D
Para resolver el problema debemos igualar el volumen de la caja al volumen que ocupan las $n$ bolitas. Para ello entonces tenemos que:
$V_{c}=nV_{b}$
$a^3=n\dfrac{4\pi r^3}{3}$
Luego despejando $r$ se obtiene:
$r=a\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi n}}$
Nótese que el problema tiene sentido para dimensiones extremadamente pequeñas por parte de las bolitas ya que de esta forma sería análogo a llenar de puntos la caja lo cual sabemos que es posible.
Relación de volúmenes
Enunciado
El área de la superficie de una esfera es $108$ cm$^2$ (considerar $\pi= 3$) ¿cuál es el volumen de esa esfera en cm$^3$?
Alternativas
A) $27$ cm$^3$
B) $48$ cm$^3$
C) $324$ cm$^3$
D) $108$ cm$^3$
Respuesta
D
Veamos que:
$108=4\pi r^2 \rightarrow 108 = 12r^2 \rightarrow 9=r^2 \rightarrow 3=r $
$\text{Volumen}= \dfrac{4}{3}\pi \cdot r^3=\dfrac{4}{3} \cdot 3 \cdot 27=108$
Construyendo conos
Enunciado
Marcela compra 10 plastilinas de forma cilíndrica de 2 cm de diámetro y 9 cm de altura, cada una de ellas. ¿Cuántos conos, con las mismas dimensiones, podrá confeccionar Marcela?
Alternativas
A) 270 conos
B) 90 conos
C) 30 conos
D) 3 conos
Respuesta
C
El cilindro y la esfera
Enunciado
¿En cuál de las siguientes alternativas se puede observar que el doble del volumen del cilindro es igual al triple del volumen de la esfera?
Alternativas
A) | ![]() |
B) | ![]() |
C) | ![]() |
D) | ![]() |
Respuesta
C
Encontrando el volumen
Enunciado
¿Cuál es el volumen de 2 esferas inscritas en un cilindro de 8 cm de altura?
Alternativas
A) $32\; \pi \;cm^3$
B) $10,6\; \pi \;cm^3$
C) $64\; \pi \;cm^3$
D) $21,3\; \pi \;cm^3$
Respuesta
D
Identificando esferas
Enunciado
¿Cuál de los siguientes objetos representa una esfera?
Alternativas
A) Huevo de gallina
B) Globo terráqueo
C) Sandia
D) Balón de rugby
Respuesta
B
La esfera y el cono
Enunciado
Observe los siguientes cuerpos geométricos:
¿Cuál es la expresión que representa el volumen del cono con respecto al volumen de la esfera, si ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el doble de su radio?
Alternativas
A) $\mathbf{V}_{cono}=2 \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
B) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{1}{4} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
C) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{1}{2} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
D) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{2}{3} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
Respuesta
C