MA2M OA 07
Desarrollar las fórmulas del área de la superficie y del volumen de la esfera:
- Conjeturando la fórmula.
- Representando de manera concreta y simbólica, de manera manual y/o con software educativo.
- Resolviendo problemas de la vida diaria y de geometría.
Textos Escolares oficiales 2022
Priorización
Evaluaciones del programa
Evaluación Programas - MA2M OA07 - U1 - PROBLEMAS CON ESFERAS EN LA VIDA DIARIA
Actividades
Imágenes y multimedia
Unidad 1
Unidad 0
Indicadores
Indicadores unidad 1
- -Relacionan medidas de contenidos en envases en forma de cono, cilindro y esfera, que tienen el mismo radio y cuya altura también es igual al radio.
- -Derivan la fórmula del volumen de una esfera, a partir de los datos obtenidos en la comparación.
- -Reconocen que el volumen del cono es un cuarto del volumen de la esfera, si el radio y la altura son iguales en ambas figuras 3D.
- -Determinan la relación entre el volumen de la esfera y el volumen de un cono inscrito en ella.
- -Relacionan la esfera con objetos cotidianos (balón de fútbol, pelota de tenis, etc.).
- -Representan el volumen de la esfera como un conjunto infinito de conos (o pirámides) que están unidas en el centro.
- -Derivan el área de la esfera a partir de su volumen, el cual está igualado al volumen de infinitos conos (o pirámides) y de la adición de sus bases, que representaría una aproximación al área de la esfera.
- -Aplican las fórmulas de volumen y de superficie para resolver problemas geométricos, científicos y de la vida diaria.
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Preguntas
Volumen y superficie
Enunciado
Miguel desea comprar una pecera y en una tienda consigue una de forma semiesférica. Para conocer la capacidad de la pecera la llena de agua por completo y logra conocer que el volumen contenido en el recipiente es de $144 \pi$ cm$^3$. ¿Cuál es el radio de la pecera que Miguel consiguió?
Alternativas
A) $r=\mbox{5 cm}$
B) $r=\mbox{4 cm}$
C) $r=\mbox{7 cm}$
D) $r=\mbox{6 cm}$
Contenido de envases en formas 3D
Enunciado
Una esfera se inscribe dentro de un cilindro como se aprecia en la figura:
Si el cilindro tiene volumen $100\pi$
¿cuál es el diámetro de la esfera?
Alternativas
A) $\sqrt[3]{50}$
B) $\sqrt[3]{100}$
C) $2\sqrt[3]{50}$
D) $2\sqrt[3]{100}$
Volumen y superficie
Enunciado
El diámetro de una naranja es aproximadamente igual a $6$ cm. Si se corta por la mitad ¿cuál es el área de la superficie de cada media naranja?
Alternativas
A) $54 \pi$ cm$^3$
B) $60\pi$ cm$^3$
C) $27\pi$ cm$^3$
D) $240\pi$ cm$^3$
Relación de volúmenes
Enunciado
Una esfera puede inscribirse perfectamente en un cilindro de diámetro $6$ cm. ¿Cuál es el volumen de la esfera en centímetros cúbicos?
Alternativas
A) $9\pi$
B) $12\pi$
C) $24\pi$
D) $36\pi$
Volumen y superficie
Enunciado
Al cortar una esfera por la mitad se obtiene una circunferencia de diámetro $30$ cm. ¿Cuál es el volumen de la esfera?
Alternativas
A) $4 500\pi$ cm$^3$
B) $13 500\pi$ cm$^3$
C) $18 000\pi$ cm$^3$
D) $27 000\pi$ cm$^3$
Relación de volúmenes
Enunciado
La esfera de radio $1$ cm es sumergida totalmente en un tanque cilíndrico de radio $4$ cm como se muestra en la figura.
Si el agua sube de nivel una altura $h$ cm ¿cuál es el valor de $h$?
Alternativas
A) $\displaystyle\frac{1}{4}$ cm
B) $\displaystyle\frac{1}{8}$ cm
C) $\displaystyle\frac{1}{16}$ cm
D) $\displaystyle\frac{1}{12}$ cm
Volumen y superficie
Enunciado
Se tiene una esfera inscrita dentro de un cilindro. Si el volumen de la esfera es $\dfrac{64}{3}\pi~\text{cm}^3$ ¿cuál es el volumen del cilindro?
Alternativas
A) $8\pi~\text{cm}^3$
B) $12\pi~\text{cm}^3$
C) $16\pi~\text{cm}^3$
D) $32\pi~\text{cm}^3$
Volumen y superficie
Enunciado
Se tiene una caja de forma cúbica de arista $a$ en la cual se encuentran contenidas $n$ bolitas de radio $r$.
Asuma que las bolitas son extremadamente pequeñas en relación a las dimensiones de la caja ($a \gg r$) y por tanto se desprecia el espacio entre estas. En función al lado $a$ y cantidad $n$ de bolitas el radio que debe tener cada bolita para abarcar el volumen completo de la caja es:
Alternativas
A) $a\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi}}$
B) $a\sqrt[3]{\dfrac{4\pi n}{5}}$
C) $a\sqrt[3]{\dfrac{5}{4\pi n}}$
D) $a\sqrt[3]{\dfrac{3}{4\pi n}}$
Relación de volúmenes
Enunciado
El área de la superficie de una esfera es $108$ cm$^2$ (considerar $\pi= 3$) ¿cuál es el volumen de esa esfera en cm$^3$?
Alternativas
A) $27$ cm$^3$
B) $48$ cm$^3$
C) $324$ cm$^3$
D) $108$ cm$^3$
Construyendo conos
Enunciado
Marcela compra 10 plastilinas de forma cilíndrica de 2 cm de diámetro y 9 cm de altura, cada una de ellas. ¿Cuántos conos, con las mismas dimensiones, podrá confeccionar Marcela?
Alternativas
A) 270 conos
B) 90 conos
C) 30 conos
D) 3 conos
El cilindro y la esfera
Enunciado
¿En cuál de las siguientes alternativas se puede observar que el doble del volumen del cilindro es igual al triple del volumen de la esfera?
Alternativas
| A) |  |
| B) |  |
| C) |  |
| D) |  |
Encontrando el volumen
Enunciado
¿Cuál es el volumen de 2 esferas inscritas en un cilindro de 8 cm de altura?
Alternativas
A) $32\; \pi \;cm^3$
B) $10,6\; \pi \;cm^3$
C) $64\; \pi \;cm^3$
D) $21,3\; \pi \;cm^3$
Identificando esferas
Enunciado
¿Cuál de los siguientes objetos representa una esfera?
Alternativas
A) Huevo de gallina
B) Globo terráqueo
C) Sandia
D) Balón de rugby
La esfera y el cono
Enunciado
Observe los siguientes cuerpos geométricos:
¿Cuál es la expresión que representa el volumen del cono con respecto al volumen de la esfera, si ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el doble de su radio?
Alternativas
A) $\mathbf{V}_{cono}=2 \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
B) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{1}{4} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
C) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{1}{2} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
D) $\mathbf{V}_{cono}=\frac{2}{3} \cdot \mathbf{V}_{esfera}$
