Grupo: Título del recurso
Priorización 2023-2025: Aprendizajes Basales
MA2M OA 05
Mostrar que comprenden la inversa de una función:
- Utilizando la metáfora de una máquina.
- Representándola por medio de tablas y gráficos, de manera manual y/o con software educativo.
- Utilizando la reflexión de la función representada en el gráfico en un plano cartesiano.
- Calculando las inversas en casos de funciones lineales y cuadráticas.
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2023
Actividades de apoyo pedagógico
Lecciones: clases completas
Evaluaciones del programa
Indicadores
Indicadores unidad 2
- -Elaboran tablas de valores de una función y de su inversa, reconociendo el intercambio de los valores en los pares (x,y).
- -Representan una función de manera concreta (metáfora de máquinas, gráficos, etc.) y representan de manera adecuada la función inversa (máquinas que funcionan en sentido contrario, reflexiones del gráfico, etc.).
- -Conjeturan sobre la reflexión en la recta y = x para obtener la inversa de una función.
- -Determinan las ecuaciones de las funciones inversas de funciones lineales y cuadráticas.
- -Reconocen la función inversa de una función dada, en representaciones pictóricas y simbólicas.
- -Resuelven problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias, que involucren el concepto de la función inversa.
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Preguntas
Banco de Preguntas [Banco de preguntas-MA2M OA05-1044820] Matemática 2M
Enunciado
Se define la función f de dominio $\mathbb{R}^{+}_{0}$ como f(x) = 3$\sqrt{5x}$. ¿Cuál es la expresión que define la función inversa de f(x)?
Alternativas
A) f$^{-1}$(x) = $\dfrac{x^2}{45}$
B) f$^{-1}$(x) = $\dfrac{x^2}{5}$
C) f$^{-1}$(x) = $\dfrac{x}{45}$
D) f$^{-1}$(x) = $\dfrac{x^2}{15}$
Respuesta
A
Realizando el cambio de las variables x e y para luego despejar y se obtiene que:
y = 3$\sqrt{5x} \Rightarrow$ x = 3$\sqrt{5y}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{3}$ = $\sqrt{5y}$
$\Rightarrow\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \left(\sqrt{5y}\right)^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{9}$ = 5y
$\Rightarrow \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{x^{2}}{9}$ = y
$\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{45}$ = y
Así la función inversa es:
f$^{-1}$(x) = $\dfrac{x^2}{45}$
Función inversa
Enunciado
Una función lineal tiene una pendiente de $m=-3$ lo que indica que la variable dependiente decrece $3$ unidades cuando la variable independiente crece $1$ unidad. ¿Cuál sería el proceso matemáticamente inverso?
Alternativas
A) La variable dependiente crece $1$ unidad cuando la variable independiente decrece $3$ unidades.
B) La variable dependiente decrece $1$ unidad cuando la variable independiente crece $3$ unidades.
C) La variable dependiente decrece $3$ unidades cuando la variable independiente crece $1$ unidad.
D) La variable dependiente decrece $1$ unidad cuando la variable independiente decrece $3$ unidades.
Respuesta
B
Tenemos una información de sobre una función lineal que tiene una pendiente de $m=-3$. lo que indica que la variable dependiente decrece $3$ unidades cuando la variable independiente crece $1$ unidad.
De forma algebráica sería:
$f(x)=-3x$.
Así por cada vez que $x$ aumenta en una unidad $f(x)$ decrece $3$ unidades. Entonces la función inversa sería:
$f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{3}x$.
Así por cada vez que $x$ aumenta tres unidades $f(x)$ decrece $1$ unidad.
Tabla de valores en funciones
Enunciado
Observa la siguiente tabla:
x | f(x) |
2 | 4 |
3 | 2 |
De acuerdo a la tabla anterior ¿cuál podría ser el valor de f$^{-1}$(2)?
Alternativas
A) -4
B) $\dfrac{1}{4}$
C) $\dfrac{1}{3}$
D) 3
Respuesta
D)
Para solucionar este problema debemos saber que f$^{-1}$ es la función inversa de f esto es la función que toma valores de la columna f(x) y los asocia a su valor correspondiente en la columna de x.
Por lo tanto:
f$^{-1}$(2) = 3
Pues si f(x) = 2 entonces x = 3.
Banco de Preguntas [Banco de preguntas-MA2M OA05-1050610] Matemática 2M
Enunciado
Un automovilista consulta el GPS de su celular y dice que le queda una hora para llegar a su destino.
La relación entre el tiempo recorrido en horas ($t$) y la distancia recorrida en kilómetros ($d$) está dada por la función:
$$t=\sqrt{\dfrac{1}{90}d}$$
Si desde que consultó el GPS han pasado $20$ minutos ¿cuánta distancia habrá recorrido para entonces?
Alternativas
A) $36~km$
B) $9~km$
C) $10~km$
D) $36\textrm000~km$
Respuesta
C)
Para conocer la distancia recorrida dado el tiempo debemos despejar $d$ en la ecuación dada (función inversa). Es decir $d=90t^2$.
Luego reemplazamos el tiempo en $t$ como el enunciado dice que han pasado $20$ minutos y el tiempo no está medido en minutos sino en horas entonces $t=\dfrac{1}{3}$ ya que $20$ minutos es un tercio de una hora.
Al reemplazar ese dato en la ecuación despejada se obtiene:
$$d=90\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=90\left(\dfrac{1}{9}\right)=10$$
Por lo tanto el automovilista ha recorrido $10~km$.
Función inversa
Enunciado
Considere la función real $f(x)=\dfrac{x^3+3}{4}$. La expresión que representa a $f^{-1}(x)$ es:
Alternativas
A) $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{4x+3}$
B) $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{4x-3}$
C) $f^{-1}(x)=4x-3$
D) $f^{-1}(x)=4x+3$
Respuesta
B
Si la función es $f(x)=\dfrac{x^3+3}{4}$ calcularemos la inversa de la siguiente manera:
$y=\dfrac{x^3+3}{4}$
$4y=x^3+3$
$4y-3=x^3$
$\sqrt[3]{4y-3}=x$
Por lo tanto la función inversa es:
$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{4x-3}$
La inversa de una función cuadrática
Enunciado
Sea la función cuadrática $f(x) = 9x^2 + 6$, definida $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} -]-\infty,-6[$. ¿en que alternativa se muestra su función inversa?
Alternativas
A) $f^{-1}(x) = \frac{ \sqrt x+6}{9}$
B) $f^{-1}(x) = \frac{ \sqrt x+6}{3}$
C) $f^{-1}(x) = \frac{ \sqrt {x-6}}{3}$
D) $f^{-1}(x) = \frac{ \sqrt x-9}{6}$
Respuesta
C
Evaluando una función inversa
Enunciado
Sea $g(x) = \frac{3x+9}{x-5}$, entonces el valor de $g^{-1}(15)$ es:
Alternativas
A) $-15$
B) $7$
C) $72$
D) $9$
Respuesta
B
La inversa de una función afín
Enunciado
Sea la función $f(x) = 7 - 4x$ definida $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. ¿Qué alternativa muestra su función inversa?
Alternativas
A) $f^{-1}(x)=\frac{-7-x}{4}$
B) $f^{-1}(x)=\frac{7-x}{4}$
C) $f^{-1}(x)=\frac{7+x}{4}$
D) $f^{-1}(x)=\frac{4-x}{7}$
Respuesta
B