Grupo: Título del recurso
MA2M OA 04
Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica, o usando herramientas tecnológicas, ecuaciones cuadráticas de la forma: -ax2 = b -(ax + b)2= c -ax2 + bx = 0 -ax2 + bx = c (a, b, c son números racionales, a ? 0)
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2021
Priorización

Ficha Pedagógica para la priorización curricular: Matemática 2º medio - OA04
Evaluaciones del programa
Actividades
Imágenes y multimedia
Indicadores
Indicadores unidad 2
- -Relacionan ecuaciones cuadráticas con sus funciones cuadráticas correspondientes.
- -Resuelven gráficamente las ecuaciones cuadráticas determinando las intersecciones del gráfico con el eje x.
- -Resuelven algebraicamente las ecuaciones cuadráticas mediante varios métodos, como factorizar, completar al cuadrado y aplicar la fórmula.
- -Identifican y representan casos en los cuales la ecuación cuadrática tiene una sola o ninguna solución.
- -Modelan problemas geométricos, de la vida cotidiana, de ciencias naturales y sociales, mediante ecuaciones cuadráticas.
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Preguntas
Ecuaciones cuadráticas
Enunciado
Sea un cuadrado de lado x y b un número positivo. Al aumentar la medida de todos sus lados en b unidades el área del cuadrado que se obtiene es igual a 9b$^2$ unidades. ¿Cuánto miden en función de b los lados del cuadrado inicial?
"
Alternativas
A) $\dfrac{b}{2}$
B) b
C) 2b
D) 3b
Respuesta
C
Notemos que el área del cuadrado nuevo se obtiene elevando al cuadrado la medida de uno de sus lados:
(x + b)$^2$ = 9b$^2$
Luego si aplicamos raíz cuadrada a ambos lados se tiene que:
$\sqrt{(x + b)^2} = \sqrt{9b^2} \Leftrightarrow$ x + b = 3b
Finalmente sabemos que la medida del cuadrado inicial es x entonces despejamos en la ecuación anterior el término x y obtendremos la medida del cuadrado inicial:
x = 2b
"
Intersección de funciones con el eje x
Enunciado
¿Cuáles son los puntos de intersección con el eje X de la parábola f(x) = 4x$^2$ + 5x - 6?
Alternativas
A) (-2 0) y (1 0)
B) (2 0) y ($-\frac{3}{4}$ 0)
C) (-2 0) y ($\frac{4}{3}$ 0)
D) $(-2,0)$ y $\left(\dfrac{4}{3},0\right)$
Respuesta
D
Para hallar la intersección de la parábola con el eje X debemos resolver la ecuación:
f(x) = 0
Esto es equivalente a:
4x$^2$ + 5x - 6 = 0
Aplicando la formula de la ecuación de segundo grado se tiene que:
x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}$
x = $\dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(4)(-6)}}{2(4)}$
x = $\dfrac{-5 \pm \sqrt{121}}{8}$
x = $\dfrac{-5 \pm 11}{8}$
x$_{1} = \dfrac{-5+11}{8} \vee$ x$_{2} = \dfrac{-5-11}{8}$
x$_{1} = \dfrac{6}{8} \vee$ x$_{2}=\dfrac{-16}{8}$
x$_{1} = \dfrac{3}{4}\vee$ x$_{2}$ = -2
Así obtenemos: x$_1 = \dfrac{3}{4}$ y x$_2$ = -2 por lo tanto los puntos de intersección son:
(-2 0) y ($\frac{3}{4}$ 0).
"
Intersección de funciones con el eje x
Enunciado
¿Qué se debe hacer para determinar los puntos de intersección con el eje X de la gráfica de f(x) = x$^2$ + 5x - 14?
Alternativas
A) Evaluar la función en 0.
B) Resolver la ecuación x$^2$ + 5x - 14 =0.
C) Determinar la segunda coordenada del vértice de f(x).
D) Determinar el discriminante de la ecuación x$^2$ + 5x - 14 = 0.
Respuesta
B
Para determinar la intersección de una función cuadrática con el eje X el procedimiento que se debe hacer es resolver la ecuación f(x) = 0 en este caso se debe resolver la ecuación x$^2$ + 5x - 14 = 0
Intersecciones eje x
Enunciado
¿En cuál de los siguientes puntos intersecta la gráfica de la función f(x) = x$^2$ - 6x - 16 al eje X?
Alternativas
A) (-8 0)
B) (4 0)
C) (-16 0)
Respuesta
B
Para determinar los puntos de intersección de la función con el eje X la igualamos a 0 es decir:
f(x) = 0
Esto es igual a:
x$^2$ - 6x - 16 = 0
(x - 8)(x + 2) = 0
x - 8 = 0 $\vee$ x + 2 = 0
x = 8 $\vee$ x = -2
Por lo tanto los puntos de intersección de la función con el eje X son (8 0) y (-2 0).
"
Solución única o vacía
Enunciado
El conjunto solución de la ecuación $x^2 + 8 = -1$ es:
Alternativas
A) $\{3 -3\}$
B) $\{3\}$
C) $\{-3\}$
D) No tiene solución real
Respuesta
D
Veamos que:
$x^2 + 8 = -1$
$x^2 + 9 = 0$
Luego
$x = \displaystyle \frac{\sqrt{0-4\cdot 9} }{2}$
$x = \displaystyle \frac{\sqrt{-36} }{2}$
no tiene solución real porque queda una raíz negativa.
"
Solución única o vacía
Enunciado
La diferencia entre un número y su recíproco es igual al doble del número. ¿Cuál es el número?
Alternativas
A) $-2$
B) $-1$
C) $0$
D) No está definido en $\mathbb{R}$
Respuesta
D
Designemos con la letra $x$ al número en cuestión su recíproco es $\displaystyle\frac{1}{x}$ (el número no puede ser $0$) por lo tanto:
$x-\displaystyle\frac{1}{x}=2x$
Multiplicando cada término por $"x"$ obtenemos:
$x^{2}-1=2x^{2}$
$-1=2x^{2}-x^{2}$
$-1=x^{2}$
Esta ecuación no tiene solución en los números reales la solución es imaginaria y corresponde a $i^{2}=-1$.
"
Ecuaciones cuadráticas
Enunciado
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación $x+\sqrt{6-x}=0$?
Alternativas
A) $\emptyset$
B) $\{2\}$
C) $\{-3\}$
D) $\{-3 2\}$
Respuesta
C
Si $x+\sqrt{6-x}=0$ entonces $x=-\sqrt{6-x}$. Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad nos queda:
$x^2=\left(-\sqrt{6-x}\right)^2=6-x \Rightarrow x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0$
Por lo tanto $x=-3$ o $x=2$.
Reemplazando con $x=-3$:
$x+\sqrt{6-x}=0$
$-3+\sqrt{6-(-3)}=0$
$-3+\sqrt{6+3}=0$
$-3+\sqrt{9}=0$
$-3+3=0$
$0=0$
Reemplazando con $x=2$:
$2+\sqrt{6-2}=0$
$2+\sqrt{4}=0$
$2+2=0$
$4=0$
Lo cuál esto último no tiene sentido por lo tanto ambas son solución de la ecuación de segundo grado pero no de la ecuación planteada en el problema por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es $\{-3\}$.
"
Modelación geométrica mediante ecuación cuadrática
Enunciado
La población de lagartijas presentes en cierto sector dependen de la cantidad de insectos $i$ expresado en millones presentes en el mismo. A su vez la población de insectos depende de la temperatura $t$ expresada en celsius presente en el lugar. Si la población de lagartijas es $l(i)=20+\left(\displaystyle\frac{i}{12}\right)^2$ y la cantidad de insectos es $i(t)=21t+1 9$. ¿Cuál es la alternativa que expresa la cantidad de lagartijas $l$ en función de la temperatura $t$?
Alternativas
A) $l(t)=20+\left(\displaystyle\frac{t}{12}\right)^2$
B) $l(t)=21 9\left(\displaystyle\frac{20t}{12}\right)^2$
C) $l(t)=20+\left(\displaystyle\frac{21t+1 9}{12}\right)^2$
D) $l(t)=21 9+\left(\displaystyle\frac{21t+1 9}{12}\right)^2$
Respuesta
C
Para establecer la alternativa que expresa la cantidad de lagartijas en función de la temperatura debemos calcular la función compuesta $l(i)\circ~i(t)$.
Sabemos que $l(i)=20+\left(\displaystyle\frac{i}{12}\right)^{2}$ y $i(t)=21t+1 9$ por lo que la función $i(t)$ pasa a ser la variable de la función $I(i)$ es decir $l(i(t))$ lo que nos queda como:
$I(i)=20+\left(\displaystyle\frac{i(t)}{12}\right)^{2}$
$l(i)= 20 + \left(\displaystyle\frac{21t+1 9}{12}\right)^{2}$
"
Ecuaciones y funciones cuadráticas
Enunciado
Si $h(x)=x^2-4$ $t(x)=x-6$ y se define la función $p(x)=3\cdot h(x)-5\cdot t(x)$ entonces de la expresión $p(x)$ simplificada es:
Alternativas
A) $p(x)=3x^{2}+5x+18$
B) $p(x)=3x^{2}-5x-18$
C) $p(x)=3x^{2}+5x-42$
D) $p(x)=3x^{2}-5x+18$
Respuesta
D
Si $h(x)=x^2-4$ $t(x)=x-6$ entonces:
$p(x)=3\cdot h(x)-5\cdot t(x)$
$p(x)=3\cdot(x^{2}-4)-5\cdot(x-6)$
$p(x)=3x^{2}-12-5x+30$
$p(x)=3x^{2}-5x+18$
"
Existencia de soluciones de una ecuación de segundo grado
Enunciado
De las siguientes ecuaciones cuadráticas, ¿Cuál de ellas no tiene solución en los $\mathbb{R}$
Alternativas
A) $x^2 + 10x = 30$<\p>
B) $-3x^2 = -15x$<\p>
C) $-x^2 - x +10 = 0$<\p>
D) $-5x^2 = 1$<\p>
Respuesta
D
Buscando soluciones de una ecuación de segundo grado
Enunciado
Cuáles son las soluciones de la ecuación $x^2 + \frac{x}{2} = 5$?
Alternativas
A) $x_1 = -\frac{5}{2}\;y\;x_2 = 2$
B) $x_1 = -\frac{11}{4}\;y\;x_2 = \frac{7}{4}$
C) $x_1 = \frac{17}{8}\;y\;x_2 = -\frac{25}{8}$
D) $x_1 = \frac{5}{2}\;y\;x_2 = -\frac{7}{2}$
Respuesta
A
La edad de Joel
Enunciado
Dentro de 10 años, la edad de Joel será la cuarta parte del cuadrado de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene Joel?
Alternativas
A) 1 año
B) 5 años
C) 10 años
D) 15 años
Respuesta
D
Relación entre la función y la ecuación de segundo grado
Enunciado
De las siguientes gráficas de funciones cuadráticas, ¿En cuál de ellos están representas las raíces de la ecuación $2x^2 - 8x = 0$?
Alternativas
A)
B)
C)
D)
Respuesta
C
Soluciones de una ecuación de segundo grado 1
Enunciado
Las soluciones de la ecuación
Alternativas
A) $x_1 = 4\;{y}\;x_2 = -9$
B) $x_1 = \frac{9}{4}\;{y}\;x_2 = 1$
C) $x_1 = -\frac{9}{4}\;{y}\;x_2 = \frac{9}{4}$
D) $x_1 = 1\;{y}\;x_2 = -1$
Respuesta
B
Soluciones de una ecuación de segundo grado 2
Enunciado
Cuáles son las raices de la ecuación $9x^2 - 54 = 0$$?
Alternativas
A) $\{-\sqrt{6},\sqrt{6}\}$
B) $\{-6,6\}$
C) $\{\sqrt{-6},\sqrt{6}\}$
D) $\{0,6\}$
Respuesta
A