Grupo: Título del recurso
Priorización 2023-2025: Aprendizajes Complementarios
MA2M OA 04
Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica, o usando herramientas tecnológicas, ecuaciones cuadráticas de la forma:
- ax2 = b
- (ax + b)2= c
- ax2 + bx = 0
- ax2 + bx = c
(a, b, c son números racionales, a ≠ 0)
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2023
Actividades de apoyo pedagógico
Material didáctico
Evaluaciones del programa
Indicadores
Indicadores unidad 2
- -Relacionan ecuaciones cuadráticas con sus funciones cuadráticas correspondientes.
- -Resuelven gráficamente las ecuaciones cuadráticas determinando las intersecciones del gráfico con el eje x.
- -Resuelven algebraicamente las ecuaciones cuadráticas mediante varios métodos, como factorizar, completar al cuadrado y aplicar la fórmula.
- -Identifican y representan casos en los cuales la ecuación cuadrática tiene una sola o ninguna solución.
- -Modelan problemas geométricos, de la vida cotidiana, de ciencias naturales y sociales, mediante ecuaciones cuadráticas.
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Preguntas
Área y Ecuaciones cuadráticas
Enunciado
El siguiente dibujo muestra un cuadrado de lado $\large x$ y su transformación al aumentar la medida de sus lados en $3$ cm.

Si el área del nuevo cuadrado mide 225 cm$^{2}$, ¿cuánto mide el lado $\large x$ del cuadrado original?
Respuesta: El lado del cuadrado original mide ______ cm.
Respuesta
Mide 12 cm.
Sabemos que el área del cuadrado final mide $225$ cm$^{2}$ y que el área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la medida de uno de sus lados. Luego, $(x + 3)^{2} = 225$.
Si aplicamos raíz cuadrada a ambos lados se tiene que:
$\sqrt{(x + 3)^2} = \sqrt{225} \rightarrow x + 3 = 15$
Finalmente, sabemos que la medida del cuadrado inicial es $\large x$, entonces despejamos en la ecuación anterior el término $x$ y obtendremos la medida del cuadrado inicial $x = 12$.
Intersección de funciones con el eje x
Enunciado
¿Cuáles son los puntos de intersección con el eje X de la parábola f(x) = 4x$^2$ + 5x - 6?
Alternativas
A) (-2,0) y (1,0)
B) (2,0) y ($-\frac{3}{4}$, 0)
C) (-2, 0) y ($\frac{4}{3}$, 0)
D) (-2,0) y ($\frac{3}{4}$, 0)
Respuesta
D)
Para hallar la intersección de la parábola con el eje X debemos resolver la ecuación:
f(x) = 0
Esto es equivalente a:
4x$^2$ + 5x - 6 = 0
Aplicando la formula de la ecuación de segundo grado se tiene que:
x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2a}$
x = $\dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(4)(-6)}}{2(4)}$
x = $\dfrac{-5 \pm \sqrt{121}}{8}$
x = $\dfrac{-5 \pm 11}{8}$
x$_{1} = \dfrac{-5+11}{8} \vee$ x$_{2} = \dfrac{-5-11}{8}$
x$_{1} = \dfrac{6}{8} \vee$ x$_{2}=\dfrac{-16}{8}$
x$_{1} = \dfrac{3}{4}\vee$ x$_{2}$ = -2
Así obtenemos: x$_1 = \dfrac{3}{4}$ y x$_2$ = -2 por lo tanto los puntos de intersección son:
(-2, 0) y ($\frac{3}{4}$, 0)
Área y ecuaciones de 2°grado
Enunciado
El siguiente dibujo muestra distintas magnitudes de un rectángulo.

¿Cuánto mide el lado menor del rectángulo? _______
Respuesta
Mide 6 cm.
Las dimensiones del rectángulo son $(4+x)$ y $2x$ y su área es $42$ cm${^2}$. Luego, el área del rectángulo es:
$(4+x) \cdot 2x = 42$ que es una solución de 2° grado y cuya resolución puede ser:
$2x^{2}+8x-42=0 \rightarrow x^{2}+4x-21=0 \rightarrow (x-3)(x+7)=0 \rightarrow x=3 \wedge x=-7$.
El valor de $x=-7$ se desestima por ser una medida negativa, resultando solo posible considerar $x=3$
Por lo tanto las medidas de rectángulo son $2\cdot 3$ y $3+4$, siendo 6 cm la medida del lado menor
Intersecciones eje x
Enunciado
¿En cuál de los siguientes puntos intersecta la gráfica de la función f(x) = x$^2$ - 6x - 16 al eje X?
Alternativas
A) (-8, 0)
B) (4, 0)
C) (-16, 0)
D) (8, 0)
Respuesta
D)
Para determinar los puntos de intersección de la función con el eje X la igualamos a 0 es decir:
f(x) = 0
Esto es igual a:
x$^2$ - 6x - 16 = 0
(x - 8)(x + 2) = 0
x - 8 = 0 $\vee$ x + 2 = 0
x = 8 $\vee$ x = -2
Por lo tanto los puntos de intersección de la función con el eje X son (8, 0) y (-2, 0)
Solución única o vacía
Enunciado
El conjunto solución de la ecuación $x^2 + 8 = -1$ es:
Alternativas
A) $\{3, -3\}$
B) $\{3\}$
C) $\{-3\}$
D) No tiene solución real
Respuesta
D
Veamos que:
$x^2 + 8 = -1$
$x^2 + 9 = 0$
Luego
$x = \displaystyle \frac{\sqrt{0-4\cdot 9} }{2}$
$x = \displaystyle \frac{\sqrt{-36} }{2}$
no tiene solución real porque queda una raíz negativa.
Solución única o vacía
Enunciado
La diferencia entre un número y su recíproco es igual al doble del número. ¿Cuál es el número?
Alternativas
A) $-2$
B) $-1$
C) $0$
D) No está definido en $\mathbb{R}$
Respuesta
D
Designemos con la letra $x$ al número en cuestión su recíproco es $\displaystyle\frac{1}{x}$ (el número no puede ser $0$) por lo tanto:
$x-\displaystyle\frac{1}{x}=2x$
Multiplicando cada término por $"x"$ obtenemos:
$x^{2}-1=2x^{2}$
$-1=2x^{2}-x^{2}$
$-1=x^{2}$
Esta ecuación no tiene solución en los números reales la solución es imaginaria y corresponde a $i^{2}=-1$.
Ecuaciones cuadráticas
Enunciado
¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación $x+\sqrt{6-x}=0$?
Alternativas
A) $\emptyset$
B) $\{2\}$
C) $\{-3\}$
D) $\{-3, 2\}$
Respuesta
C
Si $x+\sqrt{6-x}=0$ entonces $x=-\sqrt{6-x}$. Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad nos queda:
$x^2=\left(-\sqrt{6-x}\right)^2=6-x \Rightarrow x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0$
Por lo tanto $x=-3$ o $x=2$.
Reemplazando con $x=-3$:
$x+\sqrt{6-x}=0$
$-3+\sqrt{6-(-3)}=0$
$-3+\sqrt{6+3}=0$
$-3+\sqrt{9}=0$
$-3+3=0$
$0=0$
Reemplazando con $x=2$:
$2+\sqrt{6-2}=0$
$2+\sqrt{4}=0$
$2+2=0$
$4=0$
Lo cuál esto último no tiene sentido por lo tanto ambas son solución de la ecuación de segundo grado pero no de la ecuación planteada en el problema por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es $\{-3\}$.
Existencia de soluciones de una ecuación de segundo grado
Enunciado
De las siguientes ecuaciones cuadráticas, ¿Cuál de ellas no tiene solución en los $\mathbb{R}$?
Alternativas
A) $x^2 + 10x = 30$
B) $-3x^2 = -15x$
C) $-x^2 - x +10 = 0$
D) $-5x^2 = 1$
Respuesta
D)
Buscando soluciones de una ecuación de segundo grado
Enunciado
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación $x^2 + \frac{x}{2} = 5$?
Alternativas
A) $x_1 = -\frac{5}{2}\;y\;x_2 = 2$
B) $x_1 = -\frac{11}{4}\;y\;x_2 = \frac{7}{4}$
C) $x_1 = \frac{17}{8}\;y\;x_2 = -\frac{25}{8}$
D) $x_1 = \frac{5}{2}\;y\;x_2 = -\frac{7}{2}$
Respuesta
A
Relación entre la función cuadrática y la ecuación de segundo grado
Enunciado
¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la función f definida por $f(x) = 2x^2 - 8x$?
Alternativas
A)
B)
C)
D)
Respuesta
C
Soluciones de una ecuación de segundo grado 1
Enunciado
Las soluciones de la ecuación

son:
Alternativas
A) $x_1 = 4\;{y}\;x_2 = -9$
B) $x_1 = \frac{9}{4}\;{y}\;x_2 = 1$
C) $x_1 = -\frac{9}{4}\;{y}\;x_2 = \frac{9}{4}$
D) $x_1 = 1\;{y}\;x_2 = -1$
Respuesta
B)
Soluciones de una ecuación de segundo grado 2
Enunciado
¿Cuáles son las raices de la ecuación $9x^2 - 54 = 0$?
Alternativas
A) $\{-\sqrt{6},\sqrt{6}\}$
B) $\{-6,6\}$
C) $\{\sqrt{-6},\sqrt{6}\}$
D) $\{0,6\}$
Respuesta
A)