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D

Digamos que este número de $3$ cifras distintas es $CDU$ donde $C$ corresponde a la cifra de las centenas $D$ la cifra de las decenas y $U$ la cifra de las unidades. Sabemos que la suma de las tres cifras es $14$ por lo tanto:

$C+D+U=14$

Por otra parte sabemos que la cifra de la decena es la mitad de la cifra de la unidad.

$D=\dfrac{U}{2}\Longrightarrow C=2D$

Por último:

$C+D=10\Longrightarrow C=10-D$

Ahora tenemos todas las variables escritas en función de $D$ reescribimos la primera ecuación:

$C+D+U=(10-D)+D+(2D)=14\Longrightarrow D=2$

Reemplazamos $D=2$ en las otras ecuaciones obtenemos que $C=8$ y $U=4$ por lo tanto el número es $824$.

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B

En un principio el recipiente contiene 1.000 litros de aceite según la información entregada sabemos que:

• Pierde 2 litros por cada minuto que pasa
• Se agrean 5 litros cada 60 minutos por lo tanto por minuto se agregan $\dfrac{5}{60}$ litros.

La expresión que permite calcular la cantidad de litros L dentro del recipiente en función de cada minuto que pasa desde que se abrió el agujero es:

L(t) = 1.000 - 2t + $\dfrac{5}{60}$

L(t) = 1.000 - $\dfrac{120}{60}$t + $\dfrac{5}{60}$t

L(t) = 1.000 - $\dfrac{115}{60}$t

L(t) = 1.000 - $\dfrac{23}{12}$t

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D

Designemos con las letras x e y a la cantidad de mesas para 4 y 3 personas respectivamente.

Cabe notar que se tiene una ecuación con dos incógnitas pero trabajando algebraicamente esta ecuación podemos encontrar el valor de $x+y$ que corresponde al total de mesas en el restaurante.

Debemos plantear la siguiente ecuación:

84 = 4$\cdot$ 0 75$\%$ x + 3$\cdot$ 100$\%\cdot$ y = 4$\cdot\dfrac{75}{100}$x + 3$\cdot\dfrac{100}{100}$y

=$\dfrac{300}{100}$x + $\dfrac{300}{100}$y = 3x + 3y

x + y = $\dfrac{84}{3}$ = 28

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D

Del enunciado se desprende:

$\text{Javier es seis años menor que la hermana}$

$\text{Juan es dos años mayor que esta misma}.$

Además las edades de Juan y Javier suman $26$ años

Reescribiendo lo anterior y considerando:

$x=\text{Edad de Javier} $

$y=\text{Edad de Juan}$

$z=\text{Edad de la hermana de ambos}$

$x+6=z$

$y-2=z$

$x+y=26$

Por lo tanto:

$x+6=y-2$

$x-y=-8$

Se tiene:

$x+y=26$

$x-y=-8$

Resolviendo como sistema de ecuaciones con la utilización del metodo de reducción:

$2x=18$

$x=9$

Sustituyendo $x$ en una de las ecuaciones se obtiene $y=17$

Nuevamente sustituyendo $x$ o $y$ en $x+6=z$ o $y-2=z$

Se obtiene $z=15$

Finalmente se tiene que las edades de Javier Juan y la hermana de ambos son: $9 17$ y $15$ años respectivamente.

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C

Note que cada ecuación representa a una recta en el plano por lo tanto el sistema de ecuaciones no tendría solución si las rectas no se intersectan es decir si son paralelas. Las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinto coeficiente de posición de la primera ecuación tenemos que:

$2x+3y=1\Longrightarrow y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}$

De la segunda ecuación:

$3x-ay=5 \Longrightarrow y=\dfrac{3}{a}x-\dfrac{5}{a}$

Luego debe cumplirse que:

$-\frac{2}{3}=\dfrac{3}{a} \Longrightarrow a=-\dfrac{3\cdot 3}{2}=-\dfrac{9}{2}$

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D

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales lo que calculamos es la intersección de dos rectas. Veamos cada afirmación.

I. Paralelas coincidentes generan soluciones infinitas. Esto se debe a que la intersección entre ambas rectas es infinita es decir existen infinitos puntos de intersección.

II. Rectas secantes generan una única solución. Esto de debe a que dos rectas secantes tienen un solo punto de intersección es decir tienen una única solución.

III.Rectas paralelas no generan solución alguna. Esto se debe a que las rectas paralelas nunca se intersectan por lo tanto no existe punto solución.

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B

Veamos que ocurre en cada caso:

• I. Si p = 2 entonces tendriamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x+2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos la misma ecuación dos veces por lo tanto el sistema tendría infinitas soluciones.

• II. Si p= -2 entonces tendríamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x-2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos dos ecuaciones distintas que no son paralelas (porque la razón entre cada coeficionete correscondientes no son iguales) por lo tanto el sistema tiene una sola solución.

• III. Si p = 0 entonces tendríamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Obtenemos evidentemente dos ecuaciones distintas que no son paraletas (porque la razón entre cada coeficionete correscondientes no son iguales) por lo tanto el sistema tiene una sola solución.

Concluimos que la alternativa correcta es solo III.

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D

Una forma de resolver este ejercicio es multiplicando ambas ecuaciones. Con este método llegarás rápido a lo que se pregunta:

$(y+x)(y-x)=15 \Longrightarrow y^2-x^2=15$

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D

Veamos que:

$90\times[120\times8+100\times(H-8)]=90\times120\times8+9{.}000\times(H-8)$

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