Grupo: Título del recurso
MA1M OA 03
Desarrollar los productos notables de manera concreta, pictórica y simbólica:
- Transformando productos en sumas y viceversa.
- Aplicándolos a situaciones concretas.
- Completando el cuadrado del binomio.
- Utilizándolas en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2022

Matemática 1° medio, Santillana, Guía didáctica del docente Tomo 1

Matemática 1° medio, Santillana, Guía didáctica del docente Tomo 2
Priorización

Ficha Pedagógica para la priorización curricular: Matemática 1º medio - OA03
Lecciones: clases completas
Evaluaciones del programa
Actividades
Imágenes y multimedia
Indicadores
Indicadores unidad 1
- -Aplican la propiedad distributiva de la multiplicación en productos de sumas.
- -Representan los tres productos notables mediante la composición y descomposición de cuadrados y rectángulos.
- -Reconocen los productos notables como caso especial del producto de dos sumas o diferencias.
- -Reconocen la estructura de los productos notables en su expresión aditiva.
- -Aplican los productos notables en el desarrollo de expresiones algebraicas.
- -Aplican los productos notables en la factorización y la reducción de expresiones algebraicas a situaciones concretas.
- -Aplican la estructura de los productos notables para completar sumas, al cuadrado de una adición.
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Preguntas
Producto notable
Enunciado
Si se sabe que $ab=2$ y que $a^2+b^2=5$ ¿cuál es el valor de $(a-b)^2$?
Alternativas
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $5$
Respuesta
A
Sabemos que:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Reordenando los datos obtenemos:
$(a-b)^2=(a^2+b^2)-2(ab)$
Ahora reemplazamos por los valores dados queda:
$(a-b)^2=(5)-2\cdot(2)$
$(a-b)^2=5-4$
$(a-b)^2=1$
Productos notables
Enunciado
Considerando que $x \ne 0$ $x^a \ne 0$ y $x^b\ne -y^b$. Al simplificar la expresión $\dfrac{x^{a+2b}-x^{a}y^{2b}}{x^a(x^b+y^b)}$ se obtiene:
Alternativas
A) $x^{2b}+y^{2b}$
B) $x^{b}+y^{b}$
C) $y^{2b}-x^{2b}$
D) $x^{b}-y^{b}$
Respuesta
D
Es posible factorizar el numerador de la expresión dada primero por $x^a$ y luego como una suma por su diferencia.
De esta forma podemos simplificar:
$\dfrac{x^{a+2b}-x^{a}y^{2b}}{x^a(x^b+y^b)}$
$= \dfrac{x^a(x^{2b}-y^{2b})}{x^a(x^b+y^b)}$
$= \dfrac{(x^{2b}-y^{2b})}{(x^b+y^b)}$
$= \dfrac{(x^{b}-y^{b})(x^{b}+y^{b})}{(x^b+y^b)} = x^{b}-y^{b}$
Producto notable
Enunciado
Un triángulo tiene una base igual a $a-b$ y una altura de $2(a-b)^2$. Entonces su área será:
Alternativas
A) $2a^3+6a^2b+6ab^2+2b^3$
B) $2a^3-6a^2b+6ab^2-2b^3$
C) $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
D) $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Respuesta
D
El área de todo triángulo se calcula como el producto entre la base y la altura dividido por $2$. Así nos queda:
$A=\dfrac{\mbox{ base }\cdot\mbox{ altura }}{2}=\dfrac{(a-b)\cdot2(a-b)^2}{2}=(a-b)\cdot(a-b)^2=(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
Producto notable
Enunciado
Si el inverso multiplicativo de $p$ es $\left(1+\dfrac{m}{n}\right)$ entonces la expresión $p(m^2 -n^2 )$ es equivalente a:
Alternativas
A) $n(m-n)$
B) $n(m+n)$
C) $-\dfrac{m^2-n^2}{n}$
D) $\dfrac{(m^2-n^2)(m+n)}{n}$
Respuesta
A
Note que:
$p^{-1}=\left(1+\dfrac{m}{n}\right)=\dfrac{n+m}{n}\Longrightarrow
Luego p=\dfrac{n}{n+m}$
Por lo tanto:
$p\ (m^2-n^2)=\dfrac{n}{n+m}\cdot (m^2-n^2)=\dfrac{n}{n+m}\cdot (m+n)(m-n)=n(m-n)$
Productos notables en la factorización
Enunciado
La siguiente figura muestra dos cuadrados uno de lado $a$ y otro de lado $b$. ¿Cuál es el área total de la zona gris?
Alternativas
A) $(a+b)^{2}$
B) $(a-b)^{2}$
C) $a^{2}+b^{2}$
D) $(b-a)(b+a)$
Respuesta
D
El área del cuadrado grande es $b^2$ mientras que el área del cuadrado pequeño es $a^2$. Para encontrar el área de la zona oscurecida debemos restarle el área del cuadrado pequeño al cuadrado grande:
$\mbox{A}=b^2- a^2=(b+a)(b-a)$
Banco de Preguntas [Banco de preguntas-MA1M OA03-20547] Matemática 1M
Enunciado
Si a = 2$^{(n-1)}$ y b = 2$^{(4-n)}$ entonces (a - b)$^{2}$ es igual a:
Alternativas
A) 2$^{(2n-2)}$ + 2$^{(8-2n)}$ + 16
B) 2$^{(2n-2)}$ - 2$^{(8-2n)}$ - 16
C) 2$^{(2n-2)}$ + 2$^{(8-2n)}$ - 16
D) -2$^{(2n-2)}$ + 2$^{(8-2n)}$ + 16
Respuesta
C
Resolvemos el cuadrado de binomio:
(2$^{(n-1)}$ - 2$^{(4-n)}$)$^2$ = (2$^{(n-1)}$ - 2$^{(4-n)}$) $\times$ (2$^{(n-1)}$ - 2$^{(4-n)}$)
= 2$^{(2n-2)}$ - 2$^{4}$ + 2$^{(8-2n)}$
= 2$^{(2n-2)}$ + 2$^{(8-2n)}$ - 16
Productos notables en la factorización 1
Enunciado
El rectángulo de la figura tiene lados de $20$ y $5$ unidades respectivamente. ¿Cuál es el área de la región achurada?
Alternativas
A) $(10 + 8x)^2$
B) $100 - 16x^2$
C) $(10 - 4x)(10 + 4x)$
D) $(10 - 8x)(10 + 8x)$
Respuesta
D
Primero se debe calcular el área A del rectángulo completo la cuál está dada por:
$A = 20\cdot5 = 100$
Ahora vemos qué área abarcan los cuadrados blancos en la figura se calcula el área de uno de ellos la cuál está dada por:
$4x \cdot 4x = 16x^2$
Y esta área es la misma para los cuatro cuadrados blancos por lo tanto el área total que abarcan estos cuadrados está dada por:
$4 \cdot 16x^2 = 64x^2$
Por lo tanto el área de la región achurada está dada por el área total del rectángulo menos el área que abarcan los cuadrados blancos:
$\text{área achurada} = 100 - 64x^2$
Pero hay que fijarse que esto es una diferencia de cuadrados por lo tanto:
$\text{área achurada} = (10 - 8x)(10 + 8x)$
Productos notables en la factorización 2
Enunciado
¿Qué número(s) cumple(n) con la relación $\sqrt{a}-\sqrt{a}=\sqrt{a+a}$? (Considere que $a\neq0$)
Alternativas
A) $1$
B) $2$
C) Todos los números pares.
D) Ningún número.
Respuesta
D
Verifiquemos qué números cumplen con la relación y las restricciones planteadas.
Debemos despejar la incógnita $a$. Para ello primero elevaremos la expresión al cuadrado:
$\sqrt{a}-\sqrt{a}=\sqrt{a+a} ~\big/ ~()^2$
$(\sqrt{a}-\sqrt{a})^2=(\sqrt{a+a})^2$
Resolvemos estas potencias y recordemos que la potencia $2$ y la raíz cuadrada se pueden simplificar
$(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+(\sqrt{a})^2=(\sqrt{a+a})^2$
$a+a-2(\sqrt{a})^2=a+a$
Agrupamos los términos semejantes:
$2a-2(\sqrt{a})^2=2a$
$2a-2a=2a$
$0=2a$
Dividimos por el factor que acompaña a a la incógnita:
$0=2a~\big/~\dfrac{1}{2} $
$2a\cdot\dfrac{1}{2}=0\cdot\dfrac{1}{2}$
$a=0$
Pero dada la restricción que $a\neq0$ se observa que ningún número cumple la relación mostrada.
Productos notables
Enunciado
Si x es un número real distinto de 1 y de 2 ¿cuál de las siguientes opciones resulta al dividir la expresión $\dfrac{x-1}{x^2-3x+2}$ por la expresión $\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$?
Alternativas
A) $-2$
B) $x + 1$
C) $x - 2$
D) $x^2 - 2$
Respuesta
C
Podemos factorizar el numerador y denominador de ambas expresiones y simplificar los términos semejantes:
$\dfrac{x-1}{(x-1)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{1}{x^2-3x+2}$
Entonces lo que resulta al dividir la primera expresión por la segunda es $\dfrac{1}{x^2-3x+2}$.