48 horas pedagógicas

Unidad 3: El teorema de Pitágoras

El foco de esta unidad está en el teorema de Pitágoras, que se introduce desde lo concreto de sus aplicaciones, con dibujos explicativos y con una demostración matemática, pero sencilla del mismo.

Propósito

En esta unidad, los estudiantes descubren y aplican las fórmulas del área de superficies y del volumen de prismas rectos y de cilindros. Para ello, comienzan con cuerpos conocidos, como el cubo, y trabajan con sus redes para determinar las relaciones entre largo, ancho y alto, necesarias para desarrollar el nuevo conocimiento.

El foco de esta unidad está en el teorema de Pitágoras, que se introduce desde lo concreto de sus aplicaciones, con dibujos explicativos y con una demostración matemática, pero sencilla del mismo. Los alumnos deben resolver problemas que involucren dicho teorema en contextos como la geometría, la construcción y el arte.

Se recomienda integrar material concreto o algún medio tecnológico visual que les permita aprovechar al máximo la riqueza del teorema.

Otro foco radica en la descripción de movimientos como la traslación, la rotación y la reflexión. Los alumnos se pueden apoyar en el plano cartesiano y en las posibilidades que ofrece para este tema. Dentro de la descripción de movimientos, se comienza con algunos sencillos para continuar con la composición de dos o más de estos movimientos; la motivación puede provenir del arte o la matemática. También se sugiere usar aquí medios visuales o material concreto para ayudar a los estudiantes a desarrollar su capacidad espacial.

Conocimientos previos

Operaciones con números racionales.
Ecuaciones con soluciones racionales.
Construcción de triángulos.
Área de superficie de cubos y paralelepípedos.
Traslaciones, reflexiones y rotaciones.

Palabras claves

Prismas rectos, cilindros, redes de cuerpos, teorema de Pitágoras, plano cartesiano, espacio, rotación, traslación, reflexión, composición de movimientos.

= Objetivos priorizados (nivel 1) | = Objetivos semi priorizados (nivel 2).

Objetivos de la unidad

MA08 OA 11

Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros: Estimando de manera intuitiva área de superficie y volumen. Desplegando la red de prismas rectos para encontrar la fórmula del área de superficie aplicando las aproximaciones del perímetro y del área en la resolución de problemas. Aplicando las aproximaciones del perímetro y del área en la resolución de problemas. Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria.

Indicadores

Indicadores Unidad 3

Arman y despliegan cajas de forma de prismas rectos.
Reconocen que las áreas laterales de todos los prismas rectos son rectángulos.
Elaboran redes de prismas rectos de diferentes bases y calculan las áreas de las superficies.
Resuelven problemas cotidianos que involucran el volumen y el área de prismas rectos.
Reconocen en forma intuitiva que los prismas a base de polígonos regulares se acercan a cilindros si se aumenta el número de los lados del prisma.
Confeccionan de manera concreta modelos de cilindros y los comparan con modelos o dibujos de prismas a base de polígonos regulares.
Transfieren la fórmula del volumen de un cubo para determinar la fórmula del volumen de un cilindro.
Calculan el área de cilindros en ejercicios rutinarios.
Resuelven problemas cotidianos y de ciencias relacionados con el área de la superficie y el volumen de cilindros.

MA08 OA 12

Explicar, de manera concreta, pictórica y simbólica, la validez del teorema de Pitágoras y aplicar a la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana, de manera manual y/o con software educativo.

Indicadores

Indicadores Unidad 3

Descubren el teorema de Pitágoras concreta o pictóricamente, mediante descomposición o composición de cuadrados y triángulos rectángulos.
Dibujan triángulos rectángulos con los cuadrados respectivos encima los catetos y la hipotenusa, y verifican la validez del teorema de Pitágoras.
Reconocen que con dos lados del triángulo rectángulo dados, se puede calcular el tercer lado.
Despejan algebraicamente la fórmula c2 = a 2 + b2 para cualquier variable.
Estiman o calculan correctamente con la calculadora, las raíces cuadradas que resultan al aplicar el teorema de Pitágoras.
Verifican con las medidas dadas de un triángulo si es rectángulo o no.
Calculan el largo del lado faltante para que un triángulo sea rectángulo y lo verifican por construcción, aplicando el teorema de Tales (triángu inscritos en una semicircunferencia).
Calculan los componentes perpendiculares de vectores dados.
Resuelven problemas cotidianos para calcular el largo de lados desconocidos y no accesibles en el plano y en el espacio, determinando primero los triángulos rectángulos respectivos.

MA08 OA 13

Describir la posición y el movimiento (traslaciones, rotaciones y reflexiones) de figuras 2D, de manera manual y/o con software educativo, utilizando: Los vectores para la traslación. Los ejes del plano cartesiano como ejes de reflexión. Los puntos del plano para las rotaciones.

Indicadores

Indicadores Unidad 3

Realizan traslaciones en el plano con vectores dados.
Determinan el vector entre la imagen y la pre- imagen de 2 figuras 2D trasladadas y modelan la traslación y la combinación de traslaciones, por medio de vectores y la suma de ellos.
Reflexionan figuras 2D según los ejes dados, de manera concreta y pictórica.
Determinan el eje de reflexión entre la imagen y la pre-imagen de dos figuras 2D.
Reconocen que la rotación por 180° es una reflexión en un punto, llamado punto de simetría.
Identifican rotaciones, reflexiones y traslaciones en situaciones cotidianas.

MA08 OA 14

Componer rotaciones, traslaciones y reflexiones en el plano cartesiano y en el espacio, de manera manual y/o con software educativo, y aplicar a las simetrías de polígonos y poliedros, y a la resolución de problemas geométricos relacionados con el arte.

Indicadores

Indicadores Unidad 3

Realizan diferentes combinaciones de traslaciones, reflexiones y rotaciones y reconocen las propiedades.
Realizan teselados con figuras 2D, según los patrones dados.
Identifican patrones de teselados dados, descubriendo experimentalmente las propiedades de la congruencia; es decir, la conservación de la medida de segmentos y de ángulos.
Reconocen transformaciones isométricas dadas en el plano, identificando puntos importantes, como vector de traslación, centro de rotación, ángulo de rotación, eje o punto de reflexión.

MA08 OAH c

Utilizar sus propias palabras, gráficos y símbolos matemáticos para presentar sus ideas o soluciones.

MA08 OAH e

Explicar y fundamentar: Soluciones propias y los procedimientos utilizados. Resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y teoremas.

MA08 OAH f

Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos.

MA08 OAH g

Evaluar la argumentación de otros dando razones.

MA08 OAH h

Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y simulaciones, tanto manualmente como con ayuda de instrumentos para resolver problemas de otras asignaturas y de la vida diaria.

MA08 OAA B

Demostrar curiosidad e interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.

MA08 OAA C

Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales.

MA08 OAA D

Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas.