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Respuesta

D)

Digamos que este número de $3$ cifras distintas es $CDU$, donde $C$ corresponde a la cifra de las centenas, $D$ a la cifra de las decenas y $U$ a la cifra de las unidades. Sabemos que la suma de las tres cifras es $14$; por lo tanto:

$C+D+U=14$

Por otra parte, sabemos que la cifra de la decena es la mitad de la cifra de la unidad.

$D=\dfrac{U}{2}\Longrightarrow C=2D$

Por último:

$C+D=10\Longrightarrow C=10-D$

Ahora tenemos todas las variables escritas en función de $D$, reescribimos la primera ecuación:

$C+D+U=(10-D)+D+(2D)=14\Longrightarrow D=2$

Reemplazamos $D=2$, en las otras ecuaciones obtenemos que $C=8$ y $U=4$; por lo tanto, el número es $824$.

Respuesta

B

En un principio, el recipiente contiene 1 000 litros de aceite; según la información entregada, sabemos que:

• Pierde 2 litros por cada minuto que pasa.
• Se agrean 5 litros cada 60 minutos por lo tanto por minuto se agregan $\dfrac{5}{60}$ litros.

La expresión que permite calcular la cantidad de litros L dentro del recipiente, en función de cada minuto que pasa desde que se abrió el agujero, es:

L(t) = 1 000 - 2t + $\dfrac{5}{60}$

L(t) = 1 000 - $\dfrac{120}{60}$t + $\dfrac{5}{60}$t

L(t) = 1 000 - $\dfrac{115}{60}$t

L(t) = 1 000 - $\dfrac{23}{12}$t

Respuesta

D

Designemos con las letras x e y a la cantidad de mesas para 4 y 3 personas respectivamente.

Cabe notar que se tiene una ecuación con dos incógnitas pero trabajando algebraicamente esta ecuación podemos encontrar el valor de $x+y$ que corresponde al total de mesas en el restaurante.

Debemos plantear la siguiente ecuación:

84 = 4$\cdot$ 0 75$\%$ x + 3$\cdot$ 100$\%\cdot$ y = 4$\cdot\dfrac{75}{100}$x + 3$\cdot\dfrac{100}{100}$y

=$\dfrac{300}{100}$x + $\dfrac{300}{100}$y = 3x + 3y

x + y = $\dfrac{84}{3}$ = 28

Respuesta

D)

Del enunciado se desprende:

$\text{Javier es seis años menor que la hermana}$

$\text{Juan es dos años mayor que esta misma}.$

Además, las edades de Juan y Javier suman $26$ años.

Reescribiendo lo anterior y considerando:

$x=\text{Edad de Javier} $

$y=\text{Edad de Juan}$

$z=\text{Edad de la hermana de ambos}$

$x+6=z$

$y-2=z$

$x+y=26$

Por lo tanto:

$x+6=y-2$

$x-y=-8$

Se tiene:

$x+y=26$

$x-y=-8$

Resolviendo como sistema de ecuaciones con la utilización del metodo de reducción:

$2x=18$

$x=9$

Sustituyendo $x$ en una de las ecuaciones se obtiene $y=17$

Nuevamente, sustituyendo $x$ o $y$ en $x+6=z$ o $y-2=z$

se obtiene $z=15$.

Finalmente, se tiene que las edades de Javier, Juan y la hermana de ambos son: $9$, $17$ y $15$ años, respectivamente.

Respuesta

D)

Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales, lo que calculamos es la intersección de dos rectas. Veamos cada afirmación:

I. Paralelas coincidentes generan soluciones infinitas. Esto se debe a que la intersección entre ambas rectas es infinita, es decir, existen infinitos puntos de intersección.

II. Rectas secantes generan una única solución. Esto de debe a que dos rectas secantes tienen un solo punto de intersección, es decir, tienen una única solución.

III. Rectas paralelas no generan solución alguna. Esto se debe a que las rectas paralelas nunca se intersectan, por lo tanto, no existe punto solución.

Respuesta

B)

Veamos qué ocurre en cada caso:

• I. Si p = 2, entonces tendriamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x+2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos la misma ecuación dos veces; por lo tanto, el sistema tendría infinitas soluciones.

• II. Si p= -2, entonces tendríamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x-2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos dos ecuaciones distintas que no son paralelas (porque la razón entre cada coeficiente correspondiente no son iguales); por lo tanto, el sistema tiene una sola solución.

• III. Si p = 0, entonces tendríamos el siguiente sistema:

$\begin{array}{c|} 3x=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$

Obtenemos evidentemente dos ecuaciones distintas que no son paraletas (porque la razón entre cada coeficiente correspondiente no son iguales); por lo tanto, el sistema tiene una sola solución.

Concluimos que la alternativa correcta es solo III.

Respuesta

D

Una forma de resolver este ejercicio es multiplicando ambas ecuaciones. Con este método llegarás rápido a lo que se pregunta:

$(y+x)(y-x)=15 \Longrightarrow y^2-x^2=15$