Curriculum Nacional

Álgebra y funciones

Objetivos

7° básico

MA07 OA 06

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan patrones de manera pictórica y simbólica.
  • Relacionan expresiones algebraicas con patrones dados.
  • Expresan patrones geométricos con términos algebraicos; por ejemplo:
    "tres unidades al norte (n) y dos unidades al este (e)" con 3n + 2e, relacionando con puntos y gráficas en el plano cartesiano.
  • Relacionan expresiones del lenguaje natural con términos algebraicos; por ejemplo:
    "el doble de..." o "la mitad de..." con 2x o x 2 , etc.
  • Representan expresiones algebraicas sencillas de manera concreta (metáfora de máquinas), pictórica (medidas de figuras) y simbólica.
  • Resuelven problemas de la vida cotidiana que pueden ser resueltos con ecuaciones.

MA07 OA 07

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Reducir expresiones algebraicas, reuniendo términos semejantes para obtener expresiones de la forma $$ ax + by +cz ( a,b,c P Z ) $$

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan la adición y la sustracción de variables por la unión y la separación de símbolos pictóricos.
  • Representan la conmutatividad y la asociatividad de la adición en forma concreta o pictórica.
  • Reducen expresiones algebraicas en perímetros de figuras geométricas.
  • Aplican la conmutatividad y la asociatividad de la adición para reducir expresiones algebraicas.

MA07 OA 08

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas: Realizando tablas de valores para relaciones proporcionales. Graficando los valores de la tabla. Explicando las características de la gráfica. Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Reconocen cambios en la vida cotidiana que se desarrollan en forma directamente proporcional.
  • Completan y elaboran tablas de valores que pertenecen a proporcionalidades directas.
  • Confeccionan gráficos que pertenecen a proporcionalidades directas.
  • Reconocen cambios en la vida cotidiana que se desarrollan en forma inversamente proporcional.
  • Explican la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa.
  • Reconocen la proporcionalidad directa e inversa en tablas de valores, gráficos y situaciones reales.
  • Resuelven problemas mediante la proporcionalidad correspondiente.

MA07 OA 09

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Modelar y resolver problemas diversos de la vida diaria y de otras asignaturas, que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales de la forma: $$ ax = b; x/a = b (a, b y c P N; a ? 0)$$ $$ax < b; ax > b x/a < b; x/a > b (a, b y c P N; a ? 0)$$

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan transformaciones equivalentes mediante modelos concretos de balanzas: agregar o sacar objetos.
  • Resuelven ecuaciones e inecuaciones en ejercicios rutinarios, aplicando transformaciones equivalentes.
  • Modelan situaciones de la vida diaria con ecuaciones de la forma ax = b o x/a = b, a z 0.
  • Modelan situaciones de la vida diaria con inecuaciones de la forma ax < b; ax > b; x/a < b; x/a > b, a z b, az0.
  • Representan la solución de las ecuaciones o inecuaciones en la recta numérica.

8° básico

MA08 OA 06

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden las operaciones de expresiones algebraicas: Representándolas de manera pictórica y simbólica. Relacionándolas con el área de cuadrados, rectángulos y volúmenes de paralelepípedos. Determinando formas factorizadas.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Modelan concreta o pictóricamente (área de rectángulos) la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma: (a + b) • c = ac + bc, (a + b) • (c + d) = ac + ad + bc + bd.
  • Transforman productos en sumas y sumas en productos, en ejercicios rutinarios.
  • Elaboran expresiones algebraicas a base de composiciones de áreas y perímetros de figuras 2D.
  • Representan composiciones de áreas y perímetros de figuras 2D, basándose en expresiones algebraicas.
  • Desarrollan y reducen términos algebraicos que incluyen sumas y productos, en ejercicios rutinarios.

MA08 OA 07

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden la noción de función por medio de un cambio lineal: Utilizando tablas. Usando metáforas de máquinas. Estableciendo reglas entre x e y. Representando de manera gráfica (plano cartesiano, diagramas de venn), de manera manual y/o con software educativo.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Elaboran, completan y analizan tablas de valores y gráficos, y descubren que todos los pares de valores tienen el mismo cociente ("constante de proporcionalidad").
  • Descubren el concepto de función mediante la relación de proporcionalidad directa.
  • Descubren que la inclinación (pendiente) de la gráfica depende de la constante de la proporcionalidad.
  • Representan la noción de función de manera concreta (utilizando metáforas de máquinas), pictórica o simbólica.
  • Elaboran las tablas de valores y gráficos correspondientes, basados en ecuaciones de funciones lineales f(x) = a • x (y = a ∙ x).
  • Representan la linealidad f(kx) = kf(x) y f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) en tablas y gráficos.
  • Identifican la pendiente del gráfico Δy de la función f(x) = a • x con Δx el factor a.
  • Verifican que las coordenadas de puntos pertenecientes al gráfico son soluciones de la ecuación f(x) = a • x.
  • Modelan situaciones de la vida cotidiana o de ciencias con funciones lineales.

MA08 OA 08

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas, usando ecuaciones lineales de la forma: $$ ax = b; x $$ $$ a = b, a ? 0; ax + b = c; x $$ $$ a + b = c; ax = b + cx; $$ $$ a (x + b) = c; ax + b = cx + d (a, b, c, d, e EUR Q). $$

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan pictóricamente, mediante balanzas, ecuaciones de la forma:
ax = b; x = b; a 0; ax + b = c; x + b = c; ax = b + cx; a(x + b) = c;
a a
ax + b = cx + d.
  • Identifican las actividades "agregar a la balanza" con la adición y "sacar de la balanza" con la sustracción.
  • Modelan transformaciones equivalentes con actividades que mantienen el equilibrio de la balanza.
  • Modelan situaciones que requieren de una ecuación o inecuación para responder a un problema.
  • Resuelven ecuaciones de la forma:
ax = b; x = b; a 0; ax + b = c; x + b = c; ax = b + cx; a(x + b) = c;
a a
ax + b = cx + d en ejercicios rutinarios.
  • Resuelven problemas cotidianos, utilizando ecuaciones e inecuaciones.

MA08 OA 09

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Resolver inecuaciones lineales con coeficientes racionales en el contexto de la resolución de problemas, por medio de representaciones gráficas, simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan inecuaciones de manera concreta (balanzas en estado de desequilibrio), pictórica o simbólica.
  • Reconocen que una transformación equivalente de una inecuación no debe alterar el sentido de la desigualdad.
  • Verifican en la recta numérica que la multiplicación (división) de una inecuación con un número negativo invierte el sentido de los símbolos <,>.
  • Resuelven inecuaciones de la forma ax + b < c o ax + b > c en ejercicios rutinarios.
  • Resuelven problemas de la vida cotidiana que tienen una base fija y cambio constante, mediante ecuaciones e inecuaciones de la forma mencionada.

MA08 OA 10

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden la función afín: Generalizándola como la suma de una constante con una función lineal. Trasladando funciones lineales en el plano cartesiano. Determinando el cambio constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo. Relacionándola con el interés simple. Utilizándola para resolver problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Indicadores

Indicadores Unidad 2

  • Representan, completan y corrigen tablas y gráficos pertenecientes a cambios con una base fija y tasa de cambio constante.
  • Elaboran, basados en los gráficos, la ecuación de la función afín: f(x) = a • x + b.
  • Determinan las regiones en el plano cartesiano cuyos puntos p(x,y) representan soluciones (x,y) de las inecuaciones: y <a • x + b o y > a • x + b.
  • Diferencian modelos afines, lineales y de proporcionalidad inversa.
  • Modelan situaciones de la vida diaria o de ciencias con funciones afines.
  • Identifican, en la ecuación funcional, el factor a con la pendiente ∆y/∆y de la recta y el sumando b con el segmento entre el punto de intersección del gráfico con el eje vertical y el origen o(0,0)
  • Elaboran gráficos de funciones afines a y b dadas o con dos puntos dados y verifican que las coordenadas de puntos pertenecientes al gráfico son soluciones de la ecuación f(x) = a • x + b.
  • Resuelven problemas de la vida diaria o de ciencias que involucran el cambio constante expresado mediante ecuaciones recursivas de la forma f(x + 1) - f(x) = c.

1° Medio

MA1M OA 03

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Desarrollar los productos notables de manera concreta, pictórica y simbólica: -Transformando productos en sumas y viceversa. -Aplicándolos a situaciones concretas. -Completando el cuadrado del binomio. -Utilizándolas en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

Indicadores

Indicadores unidad 1

  • -Aplican la propiedad distributiva de la multiplicación en productos de sumas.
  • -Representan los tres productos notables mediante la composición y descomposición de cuadrados y rectángulos.
  • -Reconocen los productos notables como caso especial del producto de dos sumas o diferencias.
  • -Reconocen la estructura de los productos notables en su expresión aditiva.
  • -Aplican los productos notables en el desarrollo de expresiones algebraicas.
  • -Aplican los productos notables en la factorización y la reducción de expresiones algebraicas a situaciones concretas.
  • -Aplican la estructura de los productos notables para completar sumas, al cuadrado de una adición.

MA1M OA 04

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.

Indicadores

Indicadores unidad 2

  • Verifican que una sola ecuación en dos variables ax + by = c (con a, b, c fijo) a, b, c ? Q tiene como solución infinitos pares ordenados (x, y) de números.
  • Transforman ecuaciones de la forma ax + by = c a la forma y = - ab ? x + cb reconociendo la función afín.
  • Representan sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones, de manera concreta (balanzas), pictórica (gráficos) o simbólica.
  • Elaboran los gráficos de un sistema de la forma:
  • ax + by = c
  • dx + ey = f
  • Resuelven sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos algebraicos de resolución, como eliminación por igualación, sustitución y adición.
  • Modelan situaciones de la vida diaria y de ciencias, con sistemas 2 x 2 de ecuaciones lineales.

MA1M OA 05

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Graficar relaciones lineales en dos variables de la forma f(x, y) = ax + by; por ejemplo: un haz de rectas paralelas en el plano cartesiano, líneas de nivel en planos inclinados (techo), propagación de olas en el mar y la formación de algunas capas de rocas: -Creando tablas de valores con a, b fijo y x, y variable. -Representando una ecuación lineal dada por medio de un gráfico, de manera manual y/o con software educativo. -Escribiendo la relación entre las variables de un gráfico dado; por ejemplo, variando c en la ecuación ax + by = c ; (a, b, c ? Q) (decimales hasta la décima).

Indicadores

Indicadores unidad 2

  • Elaboran tablas y gráficos para ecuaciones de la forma ax + by = c con a, b valores fijos y c con valores variables.
  • Reconocen el cociente - ab como pendiente de la recta con la ecuación ax + by = c.
  • Confeccionan modelos 3D (figuras rectangulares o poligonales en niveles equidistantes) y los proyectan al plano para identificar la proyección de los bordes como líneas de la forma ax + by = c.
  • Reconocen que las líneas con mayor densidad en el plano de proyección representan mayor cambio (pendiente) en el modelo 3D.
  • Confeccionan un haz de gráficos de funciones afines, sobre la base de la función f (x, y) = ax + by (con a y b fijo).
  • Resuelven en el plano cartesiano problemas geométricos que involucren ecuaciones de la forma ax + by = c.
  • Representan fenómenos geográficos y cotidianos mediante funciones lineales f (x, y) en dos variables.

2° Medio

MA2M OA 03

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden la función cuadrática f(x)= ax2 + bx + c (a ? 0): -Reconociendo la función cuadrática f(x) = ax2 en situaciones de la vida diaria y otras asignaturas. -Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo. -Determinando puntos especiales de su gráfica. -Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras asignaturas, en particular de la oferta y demanda.

Indicadores

Indicadores unidad 2

  • -Reconocen representaciones de la función cuadrática en curvas de la vida cotidiana (balísticas, caída de pelotas, caída de agua, etc.).
  • -Grafican funciones cuadráticas a partir de una tabla de valores en la cual están dados los diferentes parámetros a, b, c.
  • -Elaboran gráficos de la función f(x) = ax2 + bx + c, considerando a > 0 o a < 0 (variando respectivamente b y c).
  • -Grafican y derivan la función para distintos valores de sus parámetros, obteniendo la forma canónica y = a(x - d)2 + e.
  • -Analizan las variaciones de la gráfica mediante diferentes medios de representación.
  • -Marcan y encuentran numéricamente la intersección de la gráfica de la función f(x) = ax2 + bx + c, con el eje x.
  • -Determinan en el plano cartesiano las regiones cuyos puntos P(x,y) representan soluciones (x,y) de las inecuaciones cuadráticas y < ax2 + bx + c o y > ax2 + bx + c.
  • -Modelan situaciones de cambio cuadrático de la vida cotidiana y de las ciencias, por medio de la función cuadrática.

MA2M OA 04

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica, o usando herramientas tecnológicas, ecuaciones cuadráticas de la forma: -ax2 = b -(ax + b)2= c -ax2 + bx = 0 -ax2 + bx = c (a, b, c son números racionales, a ? 0)

Indicadores

Indicadores unidad 2

  • -Relacionan ecuaciones cuadráticas con sus funciones cuadráticas correspondientes.
  • -Resuelven gráficamente las ecuaciones cuadráticas determinando las intersecciones del gráfico con el eje x.
  • -Resuelven algebraicamente las ecuaciones cuadráticas mediante varios métodos, como factorizar, completar al cuadrado y aplicar la fórmula.
  • -Identifican y representan casos en los cuales la ecuación cuadrática tiene una sola o ninguna solución.
  • -Modelan problemas geométricos, de la vida cotidiana, de ciencias naturales y sociales, mediante ecuaciones cuadráticas.

MA2M OA 05

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Mostrar que comprenden la inversa de una función: -Utilizando la metáfora de una máquina. -Representándola por medio de tablas y gráficos, de manera manual y/o con software educativo. -Utilizando la reflexión de la función representada en el gráfico en un plano cartesiano. -Calculando las inversas en casos de funciones lineales y cuadráticas.

Indicadores

Indicadores unidad 2

  • -Elaboran tablas de valores de una función y de su inversa, reconociendo el intercambio de los valores en los pares (x,y).
  • -Representan una función de manera concreta (metáfora de máquinas, gráficos, etc.) y representan de manera adecuada la función inversa (máquinas que funcionan en sentido contrario, reflexiones del gráfico, etc.).
  • -Conjeturan sobre la reflexión en la recta y = x para obtener la inversa de una función.
  • -Determinan las ecuaciones de las funciones inversas de funciones lineales y cuadráticas.
  • -Reconocen la función inversa de una función dada, en representaciones pictóricas y simbólicas.
  • -Resuelven problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias, que involucren el concepto de la función inversa.

MA2M OA 06

Eje: Matemática / Álgebra y funciones

Explicar el cambio porcentual constante en intervalos de tiempo: -Por medio de situaciones de la vida real y de otras asignaturas. -Identificándolo con el interés compuesto. -Representándolo de manera concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo. -Expresándolo en forma recursiva f(t+1) - f(t) = a · f(t). -Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Indicadores

Indicadores unidad 3

  • -Modelan un crecimiento o decrecimiento porcentual constante (por ejemplo: de 50 %) con material concreto, como fichas, monedas o palitos.
  • -Identifican el crecimiento o decrecimiento porcentual constante en representaciones gráficas.
  • -Desarrollan la forma recursiva del cambio porcentual constante, a base de datos iniciales.
  • -Resuelven ecuaciones recursivas del cambio porcentual constante en ejercicios rutinarios.
  • -Identifican el cambio constante y el cambio porcentual constante en situaciones reales.
  • -Resuelven problemas de ciencias y de la vida diaria, que involucren el cambio porcentual constante.

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